Ratgeber · Geschichte & Methoden
Der Satz des Pythagoras: Drei anschauliche Beweise
Kaum ein mathematischer Satz hat so viele Beweise wie der Satz des Pythagoras, mehrere hundert sind dokumentiert. Drei davon kommen ohne komplizierte Algebra aus und lassen sich fast rein zeichnerisch nachvollziehen.
Ein Satz, hunderte Beweise
Nur wenige mathematische Aussagen sind so oft bewiesen worden wie der Satz des Pythagoras. Die berühmte Sammlung von Elisha Loomis führte bereits über 350 verschiedene Beweise auf, und es kamen seither weitere hinzu. Drei davon sind besonders anschaulich, weil sie weitgehend ohne Formeln auskommen.
Der Zerlegungsbeweis
Zeichne zwei gleich grosse Quadrate mit der Seitenlänge a plus b. In das erste Quadrat legst du vier identische rechtwinklige Dreiecke so hinein, dass in den Ecken zwei kleinere Quadrate mit den Flächen a hoch zwei und b hoch zwei frei bleiben. In das zweite Quadrat legst du dieselben vier Dreiecke anders an, sodass in der Mitte ein gekipptes Quadrat mit der Fläche c hoch zwei frei bleibt. Da beide grossen Quadrate gleich gross sind und jeweils dieselben vier Dreiecke enthalten, müssen auch die freien Flächen gleich gross sein. Daraus folgt unmittelbar a hoch zwei plus b hoch zwei gleich c hoch zwei.
Der Beweis durch Umlegen
Eine Variante arbeitet mit nur einem Quadrat über der Hypotenuse, das in Teile zerschnitten und so umgelegt wird, dass es genau die beiden Kathetenquadrate füllt. Dieser Umlegebeweis lässt sich mit Papier und Schere nachstellen und überzeugt, weil man die Flächengleichheit buchstäblich in der Hand hält.
Garfields Trapez-Beweis
Der wohl ungewöhnlichste Beweis stammt von James A. Garfield, der 1876 als Kongressabgeordneter und später als US-Präsident bekannt wurde. Er setzt zwei rechtwinklige Dreiecke und ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck zu einem Trapez zusammen. Die Fläche dieses Trapezes berechnet er auf zwei Weisen: einmal über die Trapezformel, einmal als Summe der drei Dreiecksflächen. Setzt man beide Ausdrücke gleich und vereinfacht, ergibt sich erneut a hoch zwei plus b hoch zwei gleich c hoch zwei.
Warum die Vielfalt zählt
Dass ein einziger Satz auf so viele Arten bewiesen werden kann, zeigt, wie tief er in der Geometrie verankert ist. Für die praktische Anwendung im Rechner genügt die Formel, doch wer einen der Beweise einmal selbst nachvollzogen hat, vergisst sie nicht mehr. Besonders der Zerlegungsbeweis eignet sich gut, um den Satz Schülerinnen und Schülern oder auch sich selbst verständlich zu machen.
FAQ
Häufige Fragen
Wie viele Beweise des Satzes gibt es?
Es sind mehrere hundert Beweise dokumentiert. Die Sammlung von Elisha Loomis aus dem fruehen zwanzigsten Jahrhundert fuehrt bereits ueber 350 verschiedene Beweise auf. Sie reichen von rein geometrischen Zerlegungen bis zu algebraischen und sogar dynamischen Argumenten.
Was ist der Zerlegungsbeweis?
Man zeichnet zwei gleich grosse Quadrate mit der Seitenlaenge a plus b. Im einen ordnet man vier rechtwinklige Dreiecke so an, dass die Flaechen a hoch zwei und b hoch zwei frei bleiben, im anderen so, dass die Flaeche c hoch zwei frei bleibt. Da beide Restflaechen gleich gross sind, gilt a hoch zwei plus b hoch zwei gleich c hoch zwei.
Hat wirklich ein US-Präsident einen Beweis gefunden?
Ja. James A. Garfield, spaeter US-Praesident, veroeffentlichte 1876 einen Beweis ueber ein Trapez, das aus zwei rechtwinkligen Dreiecken und einem weiteren Dreieck besteht. Er berechnet die Trapezflaeche auf zwei Arten und erhaelt daraus den Satz.
Quellen