Ratgeber · Geschichte & Methoden
Abstand zweier Punkte: Die Abstandsformel aus Pythagoras
Wie weit sind zwei Punkte auf einer Karte oder im Koordinatensystem voneinander entfernt? Die Antwort liefert der Satz des Pythagoras. Die sogenannte Abstandsformel ist nur eine direkte Anwendung davon, und sie funktioniert auch im Raum.
Vom Dreieck zum Koordinatensystem
Der Satz des Pythagoras beschreibt das rechtwinklige Dreieck. Setzt man ihn ins Koordinatensystem, entsteht eine der nützlichsten Formeln der Geometrie: die Abstandsformel. Sie beantwortet die Frage, wie weit zwei Punkte voneinander entfernt sind, und sie steckt in Karten-Apps, in der Computergrafik und in der Physik.
Die Herleitung
Nimm zwei Punkte, P1 mit den Koordinaten x1 und y1 sowie P2 mit den Koordinaten x2 und y2. Der waagerechte Abstand zwischen ihnen ist die Differenz x2 minus x1, der senkrechte Abstand die Differenz y2 minus y1. Diese beiden Differenzen bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse die direkte Verbindung der Punkte ist. Nach Pythagoras gilt also d hoch zwei gleich x2 minus x1 zum Quadrat plus y2 minus y1 zum Quadrat. Zieht man die Wurzel, erhält man den Abstand d.
Ein konkretes Beispiel
Liegt P1 bei den Koordinaten 1 und 2 und P2 bei 4 und 6, beträgt der waagerechte Abstand 3 und der senkrechte Abstand 4. Der Abstand ist damit die Wurzel aus 3 hoch zwei plus 4 hoch zwei, also die Wurzel aus 25, also 5. Es ist kein Zufall, dass hier wieder das vertraute 3-4-5-Dreieck auftaucht.
Erweiterung in den Raum
Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Koordinate hinzu. Der Abstand zweier Punkte ist dann die Wurzel aus den drei quadrierten Differenzen in x-, y- und z-Richtung. Auch das ist nichts anderes als der Satz des Pythagoras, nur zweimal hintereinander angewandt: einmal in der Grundebene und einmal mit der Höhe. So berechnet man etwa die Raumdiagonale eines Quaders.
Wo das praktisch wird
Die Abstandsformel ist die Grundlage vieler digitaler Anwendungen. Navigationssysteme nutzen sie für Luftlinien, Spiele-Engines für Kollisionen und Sichtweiten, und in der Statistik misst sie Ähnlichkeit zwischen Datenpunkten. Wer den Satz des Pythagoras verstanden hat, versteht damit zugleich, wie Computer Entfernungen berechnen. Für die reine Dreiecksrechnung genügt der Rechner auf dieser Seite, doch die Abstandsformel zeigt, wie weit das Prinzip trägt.
FAQ
Häufige Fragen
Wie lautet die Abstandsformel?
Der Abstand zweier Punkte mit den Koordinaten x1, y1 und x2, y2 ist die Wurzel aus der Summe der quadrierten Differenzen: d gleich Wurzel aus x2 minus x1 zum Quadrat plus y2 minus y1 zum Quadrat. Das ist der Satz des Pythagoras, angewandt auf die Differenzen in x- und y-Richtung.
Warum ist das der Satz des Pythagoras?
Die waagerechte Differenz und die senkrechte Differenz bilden die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die direkte Verbindung der beiden Punkte ist die Hypotenuse. Damit ist der Abstand genau die Hypotenuse aus den beiden Differenzen.
Funktioniert das auch im dreidimensionalen Raum?
Ja. Im Raum kommt die z-Richtung hinzu. Der Abstand ist dann die Wurzel aus den drei quadrierten Differenzen in x, y und z. Auch das folgt aus dem Satz des Pythagoras, nur zweimal angewandt.
Quellen